Punto de Fermat. Mínima distancia a los vértices de un triángulo

Pulsa encima del botón Reproduce que se encuentra en la parte inferior de la ventana, y comenzará paso a paso la construcción.

Mueve con el ratón los vértices del triángulo y observa la posición del punto de Fermat así como los ángulos que forman entra sí los segmentos que unen dicho punto con los vértices del triángulo.

Comprueba que en un triángulo isósceles el punto de Fermat pertenece a la recta de Euler (recta que contiene el Circuncentro, Baricentro y Ortocentro del triángulo). ¿Qué sucede en el triángulo isósceles si solo variamos la altura del triángulo? ¿Sabrías dar alguna explicación?

Queremos construir una red de carreteras que conecte Pedreguer, Ondara y Denia optimizando los kilómetros de carretera construida. Si suponemos que las carreteras que configuran la red las podemos construir en línea recta ¿dónde situarás el punto de confluencia de las tres carreteras para que la suma de las distancias a las tres ciudades sea mínima? Como datos para resolver el problema calcula, con la ayuda de un mapa, las distancias reales que hay en línea recta  entre las tres ciudades, teniendo en cuenta la escala.

Queremos construir ahora una red de carreteras que conecte 4 ciudades (sean A, B, C y D). Supongamos que las cuatro ciudades se encuentran en los vértices de un cuadrado consecutivamente, es decir, ABCD (en el sentido de las agujas del reloj) y que el lado del cuadrado mide 20 km. Un posible trazado puede ser ir desde A a B luego a C y por último a D (calcula los km. resultantes). Otro posible resultado puede ser que las carreteras partan en línea recta desde el punto "O" donde se cortan las diagonales del cuadrado hasta los vértices (calcula los km. resultantes). Otro posible resultado puede ser calcular el punto de Fermat del triángulo BOC (llamémosle F) y calcular el punto de Fermat del triángulo AOD (llamémosle F'). Uniendo los vértices A y D con F', B y C con F y F con F' se obtiene una red nueva (calcula los km. resultantes). ¿Cuál de los tres caminos es el óptimo? ¿Y si las ciudades forman un paralelogramo?

Un argumento muy elegante sobre la existencia del punto de Fermat es uno que utiliza un argumento de tipo físico basado en un procedimiento de Arquímedes:  

1. Consideremos un triángulo ABC en un tablero horizontal elevado (sobre 4 patas, por ejemplo) con un agujero en cada vértice del triángulo.

2. Pasamos un hilo por cada agujero, los atamos sobre la parte superior del tablero (los tres juntos) y  fijamos una pesa de masa m suspendida al final de cada hilo debajo del tablero. Levantamos los hilos atados  y los soltamos.

3. La posición tomada por la  unión de los hilos es el punto de Fermat del triángulo ABC.

Recta de Simson-Wallace

Pulsa encima del botón Reproduce que se encuentra en la parte inferior de la ventana, y comenzará paso a paso la construcción.

¿Que puedes afirmar sobra la recta de Simson si el punto P coincide con un vértice del triángulo?

Si sobre la misma figura construimos otra recta de Simson, generada por ejemplo, a partir de un punto Q de la circunferencia, distinto de P, y medimos el arco de circunferencia PQ ¿qué relación guarda este arco con el ángulo que forman las dos rectas de Simson?

Si dibujas los puntos de corte de las dos rectas de Simson correspondientes a distintas parejas de puntos situados sobre la circunferencia circunscrita al triángulo, comprobarás que todos puntos pertenecen a una circunferencia conocida por nosostros, la circunferencia de los 9 puntos.

Creado con GeoGebra por Juan Bragado Rodríguez (Mayo 2009)