La espiral de Durero y el número de oro

Partiendo de un cuadrado de lado unidad dibujamos un rectángulo áureo. Pegado a este rectángulo dibujamos un cuadrado cuyo lado coincida con el lado mayor del rectángulo áureo. Tomando como base la unión del lado de este nuevo cuadrado con el lado menor del rectángulo áureo anterior, dibujamos un nuevo cuadrado. Si seguimos este procedimiento y vamos uniendo, mediante arcos de circunferencia, dos vértices opuestos de los sucesivos cuadrados que van apareciendo, se obtiene la espiral de Durero. En realidad esta curva no es una espiral, ya que está formada por arcos de circunferencia pegados entre sí, pero es una aproximación de una espiral logarítmica. Si dividimos entre sí los lados mayores de los rectángulos áureos que van apareciendo, o dividimos el lado mayor entre el lado menor de cada rectángulo áureo, vemos que en todas las divisiones aparece el número de oro 1.618033....

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La espiral de Fibonacci y el número de oro

Su construcción es igual que la espiral de Durero pero partiendo de dos cuadrados iguales de lado unidad unidos entre sí. Si calculamos los lados de los cuadrados que se van dibujando (cada lado se obtiene sumando los lados de los dos cuadrados anteriores)  obtenemos la sucesión de Fibonacci, es decir, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...... en la que cada término se obtiene sumando los dos anteriores. Si dividimos cada término de esta sucesión entre el anterior, los cocientes que obtenemos se van aproximando al número de oro a medida que el número de términos crece indefinidamente, y esto mismo sucede si dividimos la longitud del arco de espiral generado en cada cuarto de vuelta entre el anterior. Esta espiral es casi una espiral logarítmica y aumenta su tamaño en cada cuarto de vuelta en aproximadamente 1.618034 veces el tamaño anterior, cifra que corresponde al número de oro.

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Espirales en triángulos áureos

Si tomamos un triángulo isósceles cuyos lados estén en la proporción áurea, y trazamos la bisectriz de uno de los ángulos de 72º se obtiene otro triángulo que tiene las mismas propiedades que el original. Si este proceso lo hacemos indefinidamente obtenemos siempre triángulos isósceles que todos tienen las mismas propiedades del original. La espiral se construye uniendo mediante arcos de circunferencia los vértices consecutivos de estos triángulos y aumenta en cada cuarto de vuelta aproximadamente 1.618034 veces el tamaño anterior, es decir, que el factor de crecimiento es el número de oro.

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Creado con GeoGebra por Juan Bragado Rodríguez (Enero 2010)