La espiral de Durero y el número
de oro
Partiendo de un cuadrado de lado
unidad dibujamos un rectángulo áureo. Pegado a este rectángulo dibujamos un
cuadrado cuyo lado coincida con el lado mayor del rectángulo áureo. Tomando como
base la unión del lado de este nuevo cuadrado con el lado menor del rectángulo
áureo anterior, dibujamos un nuevo cuadrado. Si seguimos este procedimiento y
vamos uniendo, mediante arcos de circunferencia, dos vértices opuestos de los sucesivos cuadrados
que van apareciendo, se obtiene la
espiral de Durero. En realidad esta curva no es una espiral, ya que está formada
por arcos de circunferencia pegados entre sí, pero es una aproximación de una
espiral logarítmica. Si dividimos entre sí los lados mayores de los rectángulos
áureos que van apareciendo, o dividimos el lado mayor entre el lado menor de
cada rectángulo áureo, vemos que en todas las divisiones aparece el número
de oro 1.618033....
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construcción.
La espiral de Fibonacci y el
número de oro
Su construcción es igual que la
espiral de Durero pero partiendo de dos cuadrados iguales de lado unidad unidos
entre sí. Si calculamos los lados de los cuadrados que se van
dibujando (cada lado se obtiene sumando los lados de los dos cuadrados
anteriores) obtenemos la sucesión de Fibonacci, es decir, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, ...... en la que cada término se obtiene sumando los dos anteriores. Si
dividimos cada término de esta sucesión entre el anterior, los cocientes que
obtenemos se van aproximando al número de oro a medida que el número de términos
crece indefinidamente, y esto mismo sucede si dividimos la longitud del arco de
espiral generado en cada cuarto de vuelta entre el anterior. Esta
espiral es casi una espiral logarítmica y aumenta su tamaño en cada cuarto de
vuelta en aproximadamente 1.618034 veces el tamaño anterior, cifra que
corresponde al número de oro.
Espirales en triángulos áureos
Si tomamos un triángulo isósceles
cuyos lados estén en la proporción áurea, y trazamos la bisectriz de uno de los
ángulos de 72º se obtiene otro triángulo que tiene las mismas propiedades que el
original. Si este proceso lo hacemos indefinidamente obtenemos siempre
triángulos isósceles que todos tienen las mismas propiedades del original. La
espiral se construye uniendo mediante arcos de circunferencia los vértices
consecutivos de estos triángulos y aumenta en cada cuarto de vuelta
aproximadamente 1.618034 veces el tamaño anterior, es decir, que el factor de
crecimiento es el número de oro.
Creado con
GeoGebra
por
Juan Bragado Rodríguez
(Enero 2010) |