Cicloide
La Cicloide es una
curva plana generada por la trayectoria que describe un punto situado
sobre una circunferencia que gira sin deslizar a lo largo de una línea
recta.
Puedes detener el movimiento pulsando en el icono de la parte inferior
izquierda de la ventana.
Mueve con el ratón el deslizador que
contiene los valores del radio de la circunferencia que genera la
cicloide para ver como varía ésta. Si quieres volver al estado inicial
pulsa sobre el icono que hay en la parte superior derecha de la ventana.
Características de la
Cicloide. Longitud y superficie
La Cicloide posee dos propiedades
básicas:
1) La longitud de un arco de la cicloide
es 8 veces el radio de la circunferencia que la genera (l=8r).
2) El área encerrada entre
un arco de cicloide y la recta sobre la que gira la circunferencia es el
triple de la superficie de la circunferencia generadora de la cicloide
(A=3
p
r2)
El cálculo integral nos permite hoy día
abordar estas dos cuestiones sin problemas.
Cicloide invertida
Evoluta de la Cicloide
Las
envolvente del haz de recta normales a una curva (rectas perpendiculares
a la curva en cada uno de sus puntos) se llama Evoluta de una curva y
corresponde al lugar geométrico de sus centros de curvatura. La Evoluta
de una Cicloide es otra Cicloide.
Para detener y activar el movimiento pulsa en el icono de la parte
inferior izquierda de la ventana.
Si quieres borrar el rastro pulsa Ctrl+F.
El Péndulo de Huygens. El
péndulo isócrono
El péndulo cicloidal puede construirse (a
la manera de Huygens) suspendiendo el hilo entre dos contornos sólidos
que tienen la forma de arcos de cicloide tangentes en su punto de unión.
Al oscilar el péndulo, el hilo se ciñe a uno u otro de esos dos
contornos cicloidales, y la longitud efectiva del péndulo queda así
disminuida en una proporción que depende de la amplitud de las
oscilaciones.
Huygens demostró que si la circunferencia
que genera los dos contornos cicloidales tiene precisamente un radio que
es la cuarta parte de la longitud del hilo de suspensión del péndulo (l
= 4r) entonces la masa del péndulo describe un arco de cicloide cuya
circunferencia generatriz tiene el mismo radio r. Un péndulo construido
de acuerdo con estos principios es rigurosamente isócrono (el
periodo de las oscilaciones es independiente de la amplitud de las
mismas)
y el periodo de sus oscilaciones es igual
a 2p
veces la raíz cuadrada de
la longitud de péndulo dividida entre g.
La Cicloide.
Braquistócrona
La palabra Braquistócrona
proviene del griego Braquistos que significa "el más breve" y Cronos que
significa "tiempo".
Dados dos puntos A y B
situados en un plano vertical, pero no en la misma vertical, determinar
la trayectoria en la que debe moverse una partícula comenzando en A y
descendiendo bajo la acción de su peso hasta B en un tiempo mínimo.
La solución es que la trayectoria que hay que seguir para ir desde el
punto A hasta el punto B y que el tiempo empleado sea mínimo es una
cicloide invertida, siempre que solamente actúe la fuerza de la gravedad
y sin ningún tipo de impulso inicial ni fuerza de rozamiento.
La Cicloide. Tautócrona
La palabra Tautócrona proviene
del griego Tauto que significa "mismo" y Cronos que significa
"tiempo". Esta es la propiedad más sorprendente de la cicloide
invertida. En 1673 Huygens descubrió un hecho sorprendente de la
trayectoria de la cicloide invertida. Si una bola cae en caída
libre, siguiendo una cicloide invertida desde cualquier punto de
ella a su punto más bajo, el tiempo de caída no depende del
punto en que se inició el movimiento. Si dejamos caer dos bolas
a lo largo de la cicloide invertida desde diferentes alturas,
las bolas llegan al punto más bajo al mismo tiempo. Esto
significa que si nos deslizamos por ella como si fuera un
tobogán, actuando solamente la fuerza de la gravedad y sin
impulsos iniciales ni fuerzas de rozamiento, el tiempo que
tardaremos en llegar hasta el punto más bajo de la curva será
siempre el mismo, sea cual sea el punto de la curva donde
comencemos el descenso. Si empezamos en el extremo superior, se
tardará lo mismo que si empezamos solo a unos pocos centímetros
del punto más bajo. Esto es así porque al ser la pendiente más
inclinada en los extremos, se alcanzará mayor velocidad en un
periodo de tiempo menor (mayor aceleración), justo al contrario
que en la zona central de la curva, donde la velocidad es menor
y por tanto iremos más lentos.
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Creado con
GeoGebra
por
Juan
Bragado Rodríguez
(Marzo 2011) |
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